Orateur : Rachad Bentbib
Établissement : (France)
Dates : 2024-03-07 – 2024-03-07
Heures : 16:00 – 16:00
Lieu : Salle 0-6
Résumé :
Cette thèse porte sur les groupes de rang de Morley fini. Elle consiste en deux parties: la première partie concerne les mauvais groupes, contre-exemples éventuels à la conjecture de Cherlin-Zilber; la deuxième partie concerne les groupes $aleph_1$-catégoriques qu’on essaye de caractériser algébriquement parmis les groupes de rang de Morley fini.
Dans la première partie de cette thèse, on s’intéresse au même sous-ensemble étudié par Frécon en rang $3$. On montre qu’en rang $4$, ce dernier est de rang $3$, et l’ensemble des droites presque incluses là-dedans est de rang $3$, une configuration qui n’est pas suffisament riche pour tirer une contradiction. On montre ensuite, en utilisant les actions de groupes, qu’un mauvais groupe simple de rang $3$ ne peut être linéaire, d’une manière différente de celle de Yerulan Mustafin et Bruno Poizat, en se basant toujours sur le plongement établit par ces derniers de ce groupe dans $PSL_2(K)$ pour un corps algébriquement clos $K$.
Dans la deuxième partie de cette thèse, on étudie une relation d’équivalence dite d’analogie introduite par Frécon sur les sous-ensembles fortement minimaux d’une structure de rang de Morley fini, dans l’espoir d’obtenir une décomposition des groupes de rang de Morley fini permettant la caractérisation des groupes $aleph_1$-catégoriques. Une structure dont les sous-ensembles fortement minimaux forment une seule classe d’équivalence est dite harmonieuse. On montre que cette relation d’équivalence dans le cadre des groupes de rang de Morley fini possède un nombre fini de classes d’équivalences, et nous donne une décomposition remarquable de la composante connexe du groupe. On montre qu’un groupe harmonieux est nécessairement catégorique. La remarque du referee d’un article qu’on avait soumis avec Frécon donnant un lien entre la relation d’analogie et la non-orthogonalité en théorie de la stabilité implique que la réciproque est vraie. On introduit finalement les sous-groupes quasi-définissables, et on montre qu’ils sont de bons candidats pour obtenir une bonne décomposition qui nous rapprocherait de la caractérisation recherchée.